从麦克斯韦方程组解出毕奥–萨伐尔定律

毕奥–萨伐尔定律描述了电流元产生的磁场。它是电磁学的基本定律之一，通过麦克斯韦方程组可以推导出来。

麦克斯韦方程组

麦克斯韦方程组是描述电磁现象的基本方程。在自然单位制下，它们可以写成如下形式：

其中，$\mathbf{E}$ 是电场强度，$\mathbf{B}$ 是磁感应强度，$\rho$ 是电荷密度，$\mathbf{J}$ 是电流密度，$\varepsilon_0$ 是真空介电常数，$\mu_0$ 是真空磁导率。

推导过程

我们先从安培定律开始：

根据安培定律，我们有：

$$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$$

考虑到电流密度 $\mathbf{J}$ 可以写成 $\mathbf{J} = \rho \mathbf{v}$，其中 $\rho$ 是电荷密度，$\mathbf{v}$ 是电流元的流速。

我们将 $\mathbf{B}$ 用磁矢势 $\mathbf{A}$ 表示，即 $\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}$。代入安培定律得：

$$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) = \mu_0 \rho \mathbf{v} \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$$

利用矢量恒等式 $\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) \nabla^2 \mathbf{A}$，上式可以写成：

$$\nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) \nabla^2 \mathbf{A} = \mu_0 \rho \mathbf{v} \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$$

在静电情况下（即电场不随时间变化），第二项为零，因此有：

$$\nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) \nabla^2 \mathbf{A} = \mu_0 \rho \mathbf{v}$$

根据泊松方程 $\nabla^2 \mathbf{A} = \mu_0 \rho$，我们可以将上式改写为：

$$\nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) \nabla^2 \mathbf{A} = 0$$

这是一个泊松方程，我们可以通过求解得到磁矢势 $\mathbf{A}$。一旦求得 $\mathbf{A}$，我们可以通过 $\mathbf{B